圍住神經(jīng)貓攻略 數(shù)學(xué)大神教你成功圍住神經(jīng)貓

圍住神經(jīng)貓攻略 數(shù)學(xué)大神教你成功圍住神經(jīng)貓

“圍住神經(jīng)貓”雖然是一個(gè)小游戲，但細(xì)細(xì)想來(lái)，其實(shí)也是一個(gè)很有意思、值得探討的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

先拋出結(jié)論：

在原游戲的條件下，由于初始占有點(diǎn)的隨機(jī)性，在考慮最壞情況下(如一個(gè)點(diǎn)都沒(méi)占有)，無(wú)法確保圍住神經(jīng)貓。但是，當(dāng)棋盤(pán)擴(kuò)展到一定程度時(shí)(M不小于9，M的定義會(huì)在下面說(shuō)明)，無(wú)論初始狀態(tài)如何，存在策略，必能?chē)∩窠?jīng)貓。

下面給出本人對(duì)這個(gè)問(wèn)題較為詳盡的分析，個(gè)人觀(guān)點(diǎn)，僅供參考。

從表面上看，神經(jīng)貓能走到的格子數(shù)是 9×9=81 格，但這個(gè)“棋盤(pán)”并不是對(duì)稱(chēng)的，神經(jīng)貓只需要走 4 步就能到棋盤(pán)的邊緣，而一旦被神經(jīng)貓?zhí)拥狡灞P(pán)邊緣，游戲就結(jié)束了。

神經(jīng)貓的逃跑策略是貪心算法，也就是說(shuō)，它總是考慮當(dāng)下離邊緣最近的路線(xiàn)。

實(shí)際上，如下圖所示，神經(jīng)貓 4 步可以走到的格子被深紅色標(biāo)出，其中帶五角星的是棋盤(pán)的邊緣。

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神經(jīng)貓顯然會(huì)盡可能地往帶五角星的格子逃跑，而我們要做的便是在貓到達(dá)五角星格子以前，把它攔住。

為了便于討論，我們考慮更具有代表性的問(wèn)題，如下圖所示：

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問(wèn)題描述：在一個(gè)邊長(zhǎng)為 M(上圖中 M=5)正六邊形的棋盤(pán)上，要在最壞情況下，依然確保能抓住神經(jīng)貓，令最小能滿(mǎn)足條件的 M 為 N，求 N 的值。

下面證明，N=9。

如覺(jué)得證明過(guò)于數(shù)學(xué)化，可跳過(guò)該證明，直接看文末總結(jié)的本游戲技巧。

———證明開(kāi)始的分界線(xiàn)———

你真的想看證明過(guò)程嗎?

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———證明結(jié)束的分界線(xiàn)———

回到原游戲。從上面的分析可以感受到“圍住神經(jīng)貓”的技巧精髓有如下幾點(diǎn)：

0、游戲的精髓，不是用最少的步數(shù)圍住神經(jīng)貓，因?yàn)榫筒綌?shù)而言，受開(kāi)局影響太大，主要靠運(yùn)氣;游戲的精髓，是在特定開(kāi)局情況下(我無(wú)法改變)：

(1)盡最大可能，確保圍住神經(jīng)貓;

(2)在確保(1)的情況下，盡可能使包圍圈小，從而減少?lài)∷牟綌?shù)。

1、慎勿輕速。除非有援兵，否則應(yīng)該要遠(yuǎn)遠(yuǎn)地張開(kāi)一張大網(wǎng)，在己方很弱的情況下，切勿輕敵。因?yàn)槟愕乃俣炔槐壬窠?jīng)貓快，所以直接近身堵截，你總是會(huì)慢一步。當(dāng)你在部署完防御之前，和神經(jīng)貓短兵相接，你就跪了。

2、包圍圈的設(shè)計(jì)。

由引理 3，有推論：當(dāng)神經(jīng)貓和我的包圍圈短兵相接之前，如果神經(jīng)貓足夠聰明，我必須保證，在我的包圍圈，已經(jīng)布置至少 7 個(gè)子。且盡可能在 6 個(gè)方向上都有子力分布。

如下圖所示，如何圍住神經(jīng)貓?

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易見(jiàn)，神經(jīng)貓至多 3 步就可以與我的防守子力短兵相接。而我設(shè)計(jì)的包圍圈已經(jīng)有了 4 個(gè)子，所以我接下來(lái)的 3 個(gè)子，都必須用于包圍圈的設(shè)計(jì)。

如下的包圍圈是可行的：

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然后就開(kāi)始撒下大網(wǎng)：

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至紅 5，大網(wǎng)所需的 7 點(diǎn)已經(jīng)占領(lǐng)完畢，神經(jīng)貓已經(jīng)無(wú)法逃出。

如果它負(fù)隅頑抗，參見(jiàn)下圖，至 40，它終于進(jìn)入了包圍圈。

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但是如果包圍圈設(shè)計(jì)得不好呢?如下圖所示，左下角的包圍圈，神經(jīng)貓只要 2 步就可以短兵相接了。

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如下圖，到白 4，實(shí)際上你已經(jīng)圍不住神經(jīng)貓了。

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接下來(lái)的攻防如幾乎是必然的，至白 26，神經(jīng)貓安然逃出。

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所以，設(shè)計(jì)包圍圈是很重要的!能不能?chē)【驮诳赡芫驮?1 步之間!

(注：本例證明了，如果神經(jīng)貓足夠聰明，起始的時(shí)候，你至少要有 4 個(gè)子，且位置合理，才有機(jī)會(huì)捉住它。)

3、由于實(shí)際游戲中，神經(jīng)貓沒(méi)那么聰明，它在左上方有通道的情況下會(huì)一味地往左上方逃跑，而不會(huì)拐彎，所以，在左上防御充分的前提下，還是盡可能在其它位置做好防御，防患于未然嘛。

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如圖，正因?yàn)樯窠?jīng)貓一開(kāi)始總是往左上角跑，所以這種狀態(tài)才能?chē)∷?，如果神?jīng)貓往左下或右上跑，其實(shí)是圍不住的。

4、上面已經(jīng)證明，當(dāng) M=9 的時(shí)候，我才能確保捉住神經(jīng)貓。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，相當(dāng)比 M=5 略好一些。

故，必然存在某些情況，因?yàn)樽约鹤恿μ酰约焊緹o(wú)法捉住神經(jīng)貓——這個(gè)時(shí)候，就放小貓咪一個(gè)生路好了。